Ох уж эти парадоксы

Вячеслав Вольнов

Задуматься над парадоксами меня заставила критика релятивизма, к которой иногда прибегают не слишком искушенные в логике философы. Они упрекают релятивизм в непоследовательности и призывают обратить свой тезис на себя. Мол, если релятивист утверждает, что всякое знание относительно (читай: ложно), само это утверждение тоже знание и значит тоже относительно. Следовательно, не всякое знание относительно и значит существует безотносительное (читай: истинное) знание. В итоге получаем нечто вроде чистой теоремы существования: обращение релятивизма на себя доказывает существование истинного знания.

1                      

То что релятивизм не опровергается указанным способом, легче всего показать обратившись к парадоксу лжеца. Пусть человек, который не сказал за жизнь ни слова правды, услышав обвинение «все, что ты говоришь, ложь», ответит следующим рассуждением. Утверждение «все, что я говорю, ложно» не может быть истинным, ибо если оно истинно, то стоит обратить его на себя, как оно станет ложным, что противоречиво. Следовательно, это утверждение ложно и значит не все, что я говорю, ложно. В итоге человек доказывает, что он не лжец, хотя по условию – не сказал за жизнь ни слова правды.

2                      

Казалось бы, причина парадокса – обращение «лжесуждения» на себя, и поэтому стоит такое обращение запретить, как парадокс будет разрешен (равно как обнаружена несостоятельность приведенного выше опровержения релятивизма). Но как быть с возражением: запрет на самообращение запретит также самообращение суждений, которое ни к каким парадоксам не ведет, например самообращение суждения «все суждения имеют форму “S есть P”». Ведь очевидно, что это суждение допускает обращение на себя, поскольку оно тоже имеют форму «S есть P». Следовательно, вводя запрет на самообращение, мы должны указать, какие суждения этому запрету подлежат, что и непросто и смахивает на произвол: одним суждениям обращаться на себя позволено, другим – нет.

3                      

Насколько мне известно, парадокс лжеца не имеет общепризнанного решения. Трудно не признать правоту тех, кто выступает за запрет на самообращение, – поскольку не запретив самообращение лжесуждения, с парадоксом лжеца вроде бы не справиться, – но правы и оппоненты, поскольку запрет на самообращение выглядит либо слишком суровой, либо слишком похожей на произвол мерой. Налицо антиномия, которая давно не дает покоя логикам и философам, но которую они, несмотря на все усилия, так и не разрешили.

4                      

Могу ошибаться, но все же возьму на себя смелость утверждать, что у меня решение парадокса есть. Причем – и в этом пожалуй самое сильное основание моей уверенности – это решение годится не только для пародокса лжеца, но и для других похожих на него парадоксов. Впрочем, не будем торопиться.

5                      

Я утверждаю, что причина парадокса лжеца – нарушение принципа категориальной определенности, который является прямым, хотя и не очевидным следствием логического закона непротиворечия. Я утверждаю тем самым, что запрет на самообращение суждений не произвол, а следствие одного из главных (если не самого главного) законов логики.

6                      

Начну с утверждения, которое я буду считать чем-то вроде аксиомы: мышление человека категориально. Нельзя исключить, что существует и какое-то иное, некатегориальное мышление, однако с самого начала условимся о том, что мы на него обращать внимания не будем. Будем вкладывать в слово «аксиома» смысл, который принят в современной математике: утверждение, принимаемое без доказательств.

7                      

Категориальность мышления проще всего пояснить на примере конкретного суждения: солнце нагревает камень. Хотя в этом суждении не используется ни одна из категорий, мысль, которая в нем высказывается, все равно категориальна: солнце мы мыслим как причину, нагревание камня – как следствие, их отношение – как причинность. Можно сказать, что категории все же используются в этом суждении, но нами явно не проговариваются, умалчиваются. В явном виде мы проговорим их в том случае, если выскажем другое суждение: солнце – причина нагревания камня. Оба суждения высказывают одну и ту же мысль, но лишь второе использует категорию «причина» в явном виде.

8                      

Давно замечено, что категории встречаются парами: причина и следствие, часть и целое, содержание и форма и т.д. Замечено также, что члены каждой пары противоположны: один и тот же предмет не может мыслиться и как категория и как ее противоположность, правда при условии, что речь идет о предмете, взятом в одно и то же время в одном и том же отношении. Скажем, нагревание камня может мыслиться и как следствие и как причина, но в разных отношениях: как следствие в отношении к солнцу, как причина в отношении теплового ощущения. Однако вряд ли кто будет всерьез настаивать на том, что нагревание камня может мыслиться как следствие и причина в отношении к солнцу. Ибо если может, то неизбежно противоречие: об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время в одном и том же отношении, можно высказать и суждение о том, что он есть следствие, и суждение о том, что он не есть следствие (поскольку он есть причина).

9                      

Тем самым доказан принцип категориальной определенности: в пределах одной и той же мысли противоположность категорий абсолютна. В пределах одной и той же мысли нельзя мыслить предмет и как категория и как ее противоположность, ибо иначе нарушается логический закон непротиворечия. Предмет может мыслиться как категория и ее противоположность, но лишь в пределах разных мыслей – т.е. когда мы берем его либо в разное время, либо в разных отношениях.

10                   

Введем понятия «категориальное разбиение» и «категориальный сдвиг». Пока мы в мышлении мыслим солнце как причину, а нагревание камня как следствие, мы остаемся в пределах одно и того же категориального разбиения. Подразумевается, что категории как бы расчленяют мыслимое на части и одновременно определяют отношение частей друг к другу. От суждения «солнце нагревает камень» мы можем перейти к суждению «камень нагрелся», однако оба суждения останутся в пределах одного и того же категориального разбиения. Но стоит нам сказать: будь осторожен, не обожгись, камни на пляже ужасно горячие, – как мы совершим категориальный сдвиг, ибо перейдем в иное категориальное разбиение. Теперь уже как причина мыслятся горячие камни, как следствие – возможный ожог при соприкосновении. Далее мы можем посоветовать: не забудь шлепки и ходи на пляже только в них, – однако теперь уже категориального сдвига не будет.

11                   

Все сказанное по-моему очевидно и вряд ли вызовет возражения. Тем более что я не сказал ничего нового, а лишь применил к категориям то, чему учит обычная логика. Осталось лишь применить сказанное к парадоксу лжеца.

12                   

Принцип категориальной определенности влечет, что в пределах одной и той же мысли категории не могут быть обращены на самих себя. Скажем, Спинозова causa sui (причина самого себя) есть в строгом смысле прямое нарушение принципа категориальной определенности, ибо если применить это понятие к какому-либо предмету, он будет мыслиться и как причина и как следствие. Правда, сам Спиноза определяет свое понятие иначе: то, сущность чего заключает в себе существование. Этим он избегает нарушение принципа, но лишь ценой переопределения понятия «причина». Если же брать это понятие в привычном смысле, то легко увидеть, что быть причиной самого себя – это все равно что вытащить себя за волосы из болота. Правда, обычно этот запрет считают следствием законов физики, тогда как на самом деле – законов логики.

13                   

Философы-материалисты иногда применяют понятие «причина самого себя» к материи. Подразумевается, что причины материальных явлений тоже материальны и значит материя есть причина самой себя. В данном случае принцип категориальной определенности опять же не нарушается, но лишь ценой раздвоения материи: под материей понимаются то материальные явления-следствия, то материальные явления-причины. Однако тем самым нарушается другой принцип – логический закон тождества, запрещающий подмену понятий.

14                   

Другой пример самообращения категорий – христианская Троица. По учению отцов церкви, каждое из Лиц Троицы есть Бог, но и все вместе они есть Бог. Следовательно, один и тот же предмет (Бог) оказывается частью самого себя (т.е. мыслится и как часть и как целое) и стало быть христианство нарушает принцип категориальной определенности. Известно, что многие христиане осознавали противоречивость христианского учения о Боге и даже пытались ее преодолеть. Отсюда монархианские и арианская ереси, а также то, что в конце концов церковь вынуждена была объявить триединство Бога божественной тайной, которая разуму человека недоступна.

15                   

Третий пример – Бог Аристотеля, мышление которого есть мышление о мышлении. Вновь один и тот же предмет (мышление) мыслится и как категория и как ее противоположность (как деятельность и как предмет деятельности), и стало быть Аристотель тоже нарушает принцип категориальной определенности.

16                   

Пусть так, скажет осознавший уклон моих мыслей читатель, но при чем тут парадокс лжеца?! Ведь доказано – и не как-нибудь, а конкретными примерами, – что самообращение суждений допустимо! Следовательно, принцип категориальной определенности не распространяется на суждения и стало быть я напрасно трачу время, убеждая всех в противоположном.

17                   

Ох уж эти конкретные примеры! Не будь их, никому из логиков даже в голову бы не пришло позволять самообращение суждений. Но они есть и действуют на логиков головокружительно. Поборники строгости и точности падают жертвами обыкновенной видимости. Глашатаи непротиворечивости слепнут и впадают в противоречие. Удивительно, но факт: стремясь найти ошибку в парадоксе, всё внимание обращают на рассуждение лжеца, тогда как она уже в конкретных примерах! Да, да, в тех самых конкретных примерах, которые якобы доказывают допустимость самообратимости.

18                   

Прежде всего поймем, почему и суждения подпадают под действие принципа. Потому что и у них есть своя категориальная противоположность: о-чем суждения, судимое. Всякое суждение есть суждение о чем-то, всякое суждение есть суждение о том или ином судимом. Суждение и судимое (деятельность и предмет деятельности) – такие же противоположности, как причина и следствие, часть и целое, содержание и форма.

19                   

Но в пределах одной и той же мысли противоположность категорий абсолютна. Но в пределах одной и той же мысли нельзя мыслить предмет и как категория и как ее противоположность. Следовательно, суждение, мыслимое как суждение, не может мыслиться как судимое. Следовательно, суждение, мыслимое как суждение, не может обращаться на себя. Самообращение суждений невозможно, потому что оно немыслимо! Самообращение суждений невозможно, потому что мысль о самообращении нарушает принцип категориальной определенности!

20                   

Разумеется, суждение может стать судимым, подобно тому как следствие причиной. Но ровно так же как следствие может стать причиной лишь другого следствия (т.е. в пределах иного категориального разбиения), суждение тоже может стать судимым лишь другого суждения (т.е. опять же в пределах иного категориального разбиения).

21                   

Но если самообращение суждений невозможно, то что скрывается за кажущейся самообратимостью суждения «все суждения имеют форму “S есть P”»? Скрывается возможность метаметасуждения, которое внешне не отличается от исходного метасуждения, но которое относится уже не только к суждениям как таковым, но и к суждениям о суждениях, т.е. к метасуждениям. Иными словами, исходное суждение «все суждения имеют форму “S есть P”» есть на деле метасуждение, которое относится к суждениям как таковым и которое именно по этой причине на себя самого обращено быть не может. Но на него может быть обращено метаметасуждение «все суждения имеют форму “S есть P”», где под суждениями понимаются уже в том числе метасуждения и в частности – исходное метасуждение «все суждения имеют форму “S есть P”».

22                   

Таким образом, самообращение суждений нельзя мыслить в пределах одного категориального разбиения, ибо иначе один и тот же предмет (суждение) мыслится и как категория и как ее противоположность. Но самообращение суждений можно мыслить в переходе из одного категориального разбиения в другое, или – что то же самое – в ходе категориального сдвига. Но мыслить самообращение в ходе категориального сдвига как раз и означает то, что исходное метасуждение мыслится как судимое совпадающего с ним по форме метаметасуждения.

23                   

Понятно теперь, почему метасуждение «все, что я говорю, ложно» не опровергается обращением на себя. Кажущееся обращение на себя означает высказывание соответствующего метаметасуждения, которое относится уже к суждениям и метасуждениям и истинность которого зависит от истинности последних. Поэтому предположение, что исходное метасуждение истинно (см. выше рассуждение лжеца), не влечет вывод, что оно ложно, а лишь что ложно совпадающее с ним по форме метаметасуждение. Следовательно, никакого противоречия не возникает, и у лжеца нет оснований заявлять, будто исходное метасуждение ложно (стало быть он вовсе и не лжец). Разумеется, сказав «все, что я говорю, ложно», лжец выскажет наконец слово правды, но это вовсе не будет тем словом правды, которое докажет, что он не лжец в своих суждениях. Это будет метаслово правды, которое докажет лишь, что он не лжец в своих метасуждениях.

24                   

Обращаю внимание, что согласно принципу категориальной определенности, запрету на самообращение подлежит не только лжесуждение, но и его антипод – суждение «все, что я говорю, истинно». Правда, в этом случае парадокса вроде бы нет, поскольку истинность суждения-антипода влечет не противоречие, а тавтологию: если суждение «все, что я говорю, истинно» истинно, то суждение «все, что я говорю, истинно» тоже истинно. Но ведь и логика запрещает тавтологии! Не столь решительно, как противоречия, но все же запрещает. Например запрещая рассуждения, содержащие «порочный круг». Ибо что такое порочный круг, как не скрытая тавтология?

25                   

Остается понять лишь одно, но едва ли не самое главное. Как объяснить тот факт, что суждение «все суждения имеют форму “S есть P”» (назовем его «суждением о форме») истинно и как метасуждение, и как метаметасуждение, и как метаметаметасуждение? Как возможна такая универсальная истинность? Почему будучи истинным на метауровне, суждение о форме не становится ложным на каком-либо из метаметауровней? Без ответа на эти вопросы решение парадокса не может быть признано удовлетворительным, ибо именно универсальная истинность суждения о форме служит самым сильным доводом в пользу его самообратимости.

26                   

И действительно. Что бы ни говорилось выше о нарушении принципа категориальной определенности, все эти разговоры тут же разбиваются о факт универсальной истинности суждения о форме. Можно сколь угодно раз повторять предыдущие рассуждения, но всякий раз они будут упираться в то, что суждение о форме тоже имеет форму «S есть P». Ибо если имеет, то отчего ж оно несамообратимо? Как возможно скрытое противоречие там, где кругом одна сплошная истина? Суждение о форме чем-то напоминает трансцендентальные идеи Канта: даже зная о том, что суждение о форме несамообратимо, видимость самообратимости не исчезает.

27                   

Вглядимся чуть более пристально в примеры конкретных суждений, якобы доказывающих допустимость самообратимости. Помимо суждения о форме к таковым относятся: «все суждения состоят из слов», «данное суждение состоит из шести слов», «всякое суждение высказывает мысль» и т.п. Нетрудно заметить, что все эти суждения есть суждения о форме суждений и ни одно о содержании. Все они тщательно избегают высказываться о содержании суждений и высказываются лишь о их форме. И даже суждение «всякое суждение высказывает мысль», в котором содержание вроде бы тоже упоминается, высказывается не о нем, а об отношении суждения к этому содержанию, т.е. опять же лишь о формальной стороне суждения.

28                   

Но если так – а примера самообратимого суждения о содержании я не знаю, – то видимость самообратимости тут же исчезает. Все якобы самообращенные суждения вовсе не есть суждения о самих себе. Все они – суждения о своей форме. В них содержание (мысль) высказывается об их форме, и значит никакого самообращения нет и в помине. Самообращение имело бы место лишь тогда, когда содержание высказывалось бы о нем самом, но пока пример самообратимого суждения о содержании не предъявлен, возможность самообратимости не доказана. Более того, принцип категориальной определенности (вместе с логическим закон непротиворечия) не оставляет у меня ни малейших сомнений в том, что такого примера нет и быть не может.

29                   

Вспомним о философах-материалистах, применяющих к материи понятие «причина самого себя». Избежать нарушения принципа им удается лишь ценой раздвоения материи: материя есть причина как материальные явления-причины, следствие – как материальные явления-следствия. Но ведь ровно такое же раздвоение претерпевает суждение, когда его обращают на себя: оно есть суждение как содержание, судимое – как форма. Следовательно, и на этот раз принцип категориальной определенности не нарушается, но опять же ценой раздвоения. Верно, конечно верно, что всякое суждение имеет содержание и форму, но только не следует толковать обращение содержания на форму как обращение суждения на самого себя.

30                   

И тогда универсальная истинность суждения о форме перестает быть доводом в пользу его самообратимости. Да, действительно, суждение «все суждения имеют форму “S есть P”» истинно по отношению к форме любого суждения, включая его собственную. Но истинность суждения по отношению к его форме вовсе не доказывает, что оно обратимо на себя. Истинность суждения по отношению к его форме доказывает лишь, что оно обратимо на свою форму.

31                   

Замечу попутно, что тем самым не совсем верно то, что говорилось выше о разных уровнях суждения о форме. Нет никакой пирамиды мета- и метаметасуждений о форме, уходящих в дурную бесконечность. Есть одно-единственное суждение о форме, которое относится к форме любого суждения. Призрак бесконечности появляется лишь тогда, когда мы мыслим суждение о форме как суждение о суждениях, т.е. в форме «все суждения имеют форму “S есть P”». Но стоит его переформулировать – «форма любого суждения есть “S есть P”», – как призрак бесконечности рассеивается.

32                   

Сказанное не означает однако, что метаметасуждений вообще нет. Напротив, лжец, доказывающий, что он не лжец, таковое как раз и высказывает (правда отождествляет его с исходным метасуждением и в итоге приходит к противоречию). Однако показательно то, что в данном случае как исходное метасуждение, так и совпадающее с ним по форме метаметасуждение есть суждения о содержании: «все, что я говорю, ложно» означает «содержание всего того, что я говорю, ложно». Следовательно, парадокс лжеца дает нам более чем убедительное подтверждение тому, что самообратимых суждений о содержании не бывает.

33                   

* * *

Теперь о других парадоксах, похожих на парадокс лжеца.

34                   

В 1903 г. Бертран Рассел придумал парадокс, который сильнейшим образом потряс математиков и стал одной из причин великого «кризиса оснований математики». Вот этот парадокс: все множества делятся на те, что не содержат себя в качестве элемента (собственные множества), и те, что содержат себя в качестве элемента (несобственные множества). Пример собственного множества – множество звезд (которое не есть звезда), пример несобственного – множество списков (которое тоже есть список).[1] Рассмотрим теперь множество всех собственных множеств. Какое оно – собственное или несобственное? Если собственное, то оно тоже войдет в множество всех собственных множеств и значит будет содержать себя в качестве элемента. Следовательно, оно несобственное, что противоречиво. Если оно несобственное, то оно не войдет в множество всех собственных множеств и значит не будет содержать себя в качестве элемента. Следовательно, оно собственное, что опять же противоречиво.

35                   

Парадокс Рассела вводит и многократно использует понятие, которое в свете сказанного выше не может не вызвать подозрение: множество, которое содержит себя в качестве элемента. Нетрудно заметить, что это понятие нарушает принцип категориальной определенности и до боли напоминает христианского Бога. Ведь Бог тоже содержит себя в качестве элемента, если под элементами понимать его Лица. И ведь вот что поразительно: не слишком искушенные в логике и математике христиане противоречивость своего Бога осознавали (кто смутно, кто ясно), тогда как логик и метаматематик Рассел противоречивость своих несобственных множеств просмотрел. Почему?! Отчего?! Как вообще могло случиться, что Рассел построил парадокс на понятии, которое противоречиво уже в своем определении?

36                   

Виной всему – все те же конкретные примеры. Мол, если множество списков тоже есть список, то это и доказывает непротиворечивость несобственных множеств. Мол, если множество списков тоже есть список, то это и доказывает их существование. Увы, не доказывает! Ни непротиворечивости! Ни существования!

37                   

Что вообще означает «доказать существование несобственных множеств»? Не означает ли это «такое множество построить, предъявить, ткнуть в него пальцем»? Что ж, попробуем. Берем списки s₁, s₂, s₃ и т.д. и составляем новый список S, выписывая имена упомянутых списков в строку или в столбик: s₁, s₂, s₃ и т.д. Естественно, имя списка S мы тоже должны включить в этот список, если хотим, чтобы он был списком всех списков: S, s₁, s₂, s₃ и т.д. И тогда казалось бы пример несобственного множества налицо. Это – список S. Это – список всех списков, среди которых есть и он сам.

38                   

Увы! Список S вовсе не несобственное множество, ибо содержит в качестве элемента не себя, а свое имя. Верно, конечно верно, что всякий список содержит в качестве элементов те или иные имена (звезд, людей, морей и т.д.), но ведь не одно и то же «содержать в качестве элемента себя» и «содержать в качестве элемента свое имя». Следовательно, мы вовсе не предъявили несобственное множество, если конечно не отождествить имена списков с ними самими. Но такое отождествление будет прямым нарушением принципа категориальной определенности, да и вообще выглядит полной нелепицей.

39                   

Однако не будем сдаваться. Желая во что бы то ни стало предъявить несобственное множество, будем не выписывать имена всевозможных списков, а собирать сами эти списки в кучу. Или лучше не в кучу, а в папку, в которой каждый список занимает одну страницу. Собрав (или переписав) все возможные списки, мы доберемся наконец до списка, в котором должны быть выписаны имена списков, собранных в нашей папке, т.е. доберемся до оглавления. Оглавления нет среди собранных в папке списков и поэтому оно должно быть выписано на отдельной странице. Выписываем оглавление и получаем множество всех списков – т.е. папку, в которой собраны все возможные списки. Так может оно-то и есть несобственное?

40                   

Увы, опять собственное, потому что содержит в качестве элемента не себя, а свое оглавление. Себя оно содержало бы лишь в том случае, если бы одной из страниц папки была она сама, но в таком случае папка перестала бы быть множеством списков, а превратилась бы в множество списков плюс еще один элемент, который списком не является. Следовательно, множество, которое было бы множеством всех списков и одновременно содержало бы себя в качестве элемента есть contradictio in adjecto – в самом наистрожайшем смысле этого выражения. И значит нам вновь не удалось предъявить несобственное множество.

41                   

Еще одна и теперь уже последняя попытка. Будем собирать в кучу (в папку уже не получится) не все возможные списки, а все возможные множества. Образуем множество всех множеств. Разве оно не будет несобственным? Разве оно не содержит себя в качестве элемента?

42                   

И действительно: если такое множество существует, то уж оно-то себя непременно содержит. Как может не быть своим элементом множество, если среди его элементов – любое множество? Как может не быть своим элементом множество, если «быть его элементом» равносильно просто «быть множеством»? Следовательно, осталось доказать, что такое множество существует. Следовательно, осталось доказать, что «собирание в кучу» всех множеств возможно.

43                   

Но разве сказать «образуем множество всех множеств» не значит доказать его существование? Что вообще означает «существовать», когда речь заходит о таких «монстрах», как «множество всех списков» или «множество всех множеств»? Решение парадокса Рассела упирается в вопрос о существовании. Решение парадокса Рассела – в ответе на вопрос, что означает существование объектов, с которыми имеет дело математика и теория множеств.

44                   

Я не открою большого секрета сказав, что в математике (обычной, не интуиционистской и не конструктивистской) существовать – значит быть непротиворечивым. Точнее, непротиворечивым должно быть понятие о претендующем на существование предмете, но и наоборот – всякий предмет, понятие о котором непротиворечиво, существует. Правда, не каждый математик согласится со второй частью последнего утверждения (т.е. с тем, что непротиворечивость – достаточное условие математического существования), но уверяю читателя, что я этой частью пользоваться не буду.

45                   

Высказанный и кажущийся тривиальным критерий существования нужно однако продумать до конца. Из него следует, что необходимым условием математического существования является не только непротиворечивость соответствующего ему понятия, но и существование (теперь уже логическое!) самого этого понятия, т.е. существование его определения. Как можно ставить вопрос о непротиворечивости того или иного понятия, если у него нет (и не может быть) никакого определения? Определение понятия – необходимое условие его непротиворечивости, а значит и существования соответствующего ему предмета.

46                   

Следовательно, доказана важная метаматематическая теорема о несуществовании: предмет, который не имеет определения, не существует. Или короче: нет определения – нет предмета. Обратное разумеется неверно, поскольку для существования предмета определение должно быть еще и непротиворечивым.

47                   

Применим эту теорему к множеству всех множеств. Имеет ли оно определение? Что такое множество всех множеств? Сколько бы мы ни пытались ответить на этот вопрос, ничего кроме тавтологии не получится: это множество, которое содержит все множества; это множество, которое состоит из всех множеств, и т.п. Но разве это определения?

48                   

Как известно, математика (обычная) знает два вида определений: явное, через род и видовое отличие, неявное, через отношение. Пример первого: множество точек, которые равноудалены от одной и той же точки; пример второго: через две точки проходит одна и только одна прямая. В первом случае высказывается род («множество точек») и видовое отличие, которым обладают элементы некоторого множества («равноудалены от одной и той же точки»), во втором – отношение, в котором находятся элементы двух или более множеств («проходит»).

49                   

Возьмем к примеру первое определение: множество, которое содержит все множества. Если это определение явное, то где в нем род и где видовое отличие, которым обладают элементы множества всех множеств? Род – множество множеств, видовое отличие – быть множеством? Пусть так, но тогда определение следует переписать следующим образом: множество множеств, которые суть множества. Нелепость этого определения очевидна: это не определение, а тавтология, поскольку видовое отличие никак вид от рода не отличает. Всякий элемент множества множеств есть множество и значит слова «которые суть множества» можно просто отбросить.

50                   

Попробуем выкрутиться: множество объектов, которые суть множества. Чем не определение? Род – множество объектов, видовое отличие – быть множеством. Неплохо, но что такое объекты? На какие такие объекты мы сослались, дабы видовое отличие отличало вид от рода? Во всяком случае теория множеств никаких таких объектов не знает. Она знает лишь два рода объектов – элементы и множества – и значит под объектами следует понимать либо элементы, либо множества. Следовательно, определение принимает следующий вид: объединение множества элементов, которые суть множества, с множеством множеств, которые суть множества. Но второе множество можно отбросить, поскольку оно не имеет определения и значит не существует. Стало быть остается только первое множество – множество элементов, которые суть множества.

51                   

И это – определение! И это – самое настоящее определение, которое быть может даже непротиворечиво. Но только множество, которое оно определяет, вовсе не непременно содержит себя в качестве элемента! Ведь чтобы содержать себя, оно должно быть элементом (раз оно по определению есть множество элементов), а это из его определения никак не вытекает. Следовательно, мы вновь не можем предъявить никакого несобственного множества.

52                   

Обратим внимание, что в отличие от множества всех множеств, явное определение множества всех списков высказать легко: множество множеств, которые суть списки. Здесь род – множество множеств, видовое отличие – быть списком. И так как не всякое множество есть список, данное определение не тавтология. Но я недаром потратил выше время на то, чтобы доказать, что множество всех списков собственное.

53                   

Вернемся к определению «множество, которое содержит все множества». Быть может оно неявное? Быть может оно определяет множество через его отношение к другим множествам? Во всяком случае главный признак неявного определения налицо – отношение «содержит». Ура! Множество всех множеств определение все-таки имеет! Множество всех множеств по крайней мере может претендовать на существование! Но только сможем ли мы доказать, что оно несобственное? Но только сможем ли мы доказать, что оно содержит в том числе себя?

54                   

Всякое неявное определение высказывает отношение, в котором находятся элементы двух или более множеств. Эти несколько множеств могут быть разными – как в приведенном выше примере с точками и прямой, но могут быть частично или даже полностью одинаковыми – как в случае отношений «больше» и «меньше» между натуральными числами (в этом случае друг к другу относятся элементы одного и того же множества). Однако – и в этом неустранимая особенность всякого неявного определения –от нашей воли зависит, как мы будем толковать определяющее отношение, в частности – будем ли мы толковать его как рефлексивное. Определив множество всех множеств через отношение «содержит» к другим множествам, мы не вправе делать вывод о том, что оно содержит в том числе себя, ибо рефлексивность отношения – дело нашего произвола: хотим, толкуем его как рефлексивное, хотим – как нерефлексивное. Другое дело, если нам удастся доказать, что второе толкование противоречиво. Но даже в этом случае из противоречивости нерефлексивного толкования не будет следовать вывод о том, что непротиворечиво рефлексивное. Вполне может оказаться так, что противоречивы оба толкования, а значит и наше неявное определение вообще.

55                   

Очевидно однако, что в случае отношения «содержит» противоречиво как раз рефлексивное толкование. По той причине, что оно нарушает принцип категориальной определенности, а значит и логический закон непротиворечия. Более того, парадокс Рассела именно это и доказывает. Смысл этого парадокса в том и состоит, что допущение рефлексивности отношения «содержит» влечет неминуемое противоречие. Следовательно, у нас не только нет доказательства рефлексивности отношения «содержит», но у нас есть доказательство того, что такого доказательства и быть не может. Но повторяю, даже если не ссылаться на парадокс Рассела (дабы избежать обвинений в порочном круге), рефлексивность отношения «содержит» зависит исключительно от нашей воли и значит доказана быть не может. Следовательно, неявное определение множества всех множеств тоже не позволяет нам предъявить несобственное множество.

56                   

Но позвольте, скажет впервые столкнувшийся с неявными определениями читатель. Ведь в неявно определенном понятии «множество всех множеств» речь идет о всех без исключения множествах, а значит в том числе и о нем самом. Следовательно, в данном случае отношение «содержит» все же рефлексивное. В том-то и дело, что «не идет». В том-то и дело, что в любом неявно определенном понятии слова, в которых оно высказывается, лишены всякого смысла. Подобно тому как лишены всякого смысла слова «точка» и «прямая», когда точки и прямые определяются неявно, через отношение друг к другу. Точнее, эти слова все же не лишены всякого смысла, но этот смысл целиком и полностью определяется определяющим отношением. Они лишены собственного, независимого от этого отношения смысла. Следовательно, в словосочетании «множество всех множеств» речь вовсе не идет о всех множествах. Само по себе это словосочетание бессмысленно («пустое имя» для определяемого понятия) и получает весь свой смысл лишь от отношения «содержит».

57                   

Достаточно. Все возможности исчерпаны, но ни одна из них не ведет к успеху. Все возможности исчерпаны, но ни одна из них не дает такое определение множества всех множеств, в котором оно содержало бы себя в качестве элемента. Можно, действительно можно определить понятие «множество всех множеств», но ни в одном из этих определений оно не содержит самого себя. Множество всех (включая себя) множеств не имеет определения! Множество всех (включая себя) множеств не существует! Все попытки предъявить несобственное множество потерпели неудачу, и значит Рассел построил парадокс на понятии, объем которого пуст!

58                   

Но если понятие «несобственное множество» пусто, то объем противоположного понятия – «собственное множество» – все возможные множества. Всякое множество есть множество собственное, и значит множество всех собственных множеств есть просто множество всех множеств. Но как уже говорилось выше, при любом определении этого последнего множества (явном – множество элементов, которые суть множества, неявном – множество, которое содержит любое другое множество) доказать его несобственность невозможно. А раз невозможно, то нет и противоречия! А раз нет противоречия, то нет и парадокса! Решение парадокса Рассела – в обнаружении пустоты понятия «несобственное множество». Решение парадокса Рассела – в опровержении конкретных примеров, якобы доказывающих существование несобственных множеств. Впрочем, есть и более короткий путь – признать принцип категориальной определенности.

59                   

Несколько попутных замечаний. Внимательный читатель заметил наверное, что в своем решении парадокса я намеренно оставался в пределах так называемой «наивной» теории множеств – т.е. той теории множеств, которую создал Георг Кантор и которой до сих пор пользуются математики в своей повседневной работе. Я не вводил никаких ограничительных аксиом, не налагал новых запретов на мышление и уж тем более не требовал отказа от понятия «актуально бесконечное множество». Более того, я даже принял за критерий математического существования критерий самого Кантора: существовать – значит быть непротиворечивым. И тем не менее мне, как я надеюсь, удалось показать, что парадокс Рассела разрешим даже без обращения ко всем этим «драконовским» мерам. Ибо в конечном счете все, что нужно для его решения, – строго следовать тем правилам определения понятий, которые приняты в обычной математике. Причем одно из этих правил есть всем хорошо известное правило классической логики: явное определение есть определение через род и видовое отличие. Оказалось, что стоит применить это правило к понятию «множество всех множеств», как от парадокса не остается и следа.

60                   

Кантор полагал, что множество определяется через свойство: всякому свойству соответствует множество элементов, которые этим свойством обладают. Поэтому стоит предъявить хотя бы один предмет, обладающий некоторым свойством, как тем самым будет доказано существование множества предметов с этим свойством. Но тут-то и скрыта ошибка! Точнее отступление от принятого самим Кантором критерия математического существования. Ведь доказательство непротиворечивости понятия подразумевает прежде всего, что у этого понятия есть определение, а явное определение, если оно правильное, не сводится к высказыванию того или иного свойства. Высказать свойство – значит высказать лишь видовое отличие определяемого предмета, тогда как необходимо также высказать его родовую принадлежность. Высказывание родовой принадлежности, или рода, такая же необходимая составная часть явного определения, как и высказывание видового отличия, вида. В правильном определении вида без рода не бывает – в чем можно усмотреть еще одно следствие принципа категориальной определенности. Следовательно, множество вовсе не определяется своим свойством. Множество определяется своим свойством (видом) и своим родом. Кантор это упустил, что и породило в его теории такого монстра, как множество всех (включая себя) множеств. И не случайно в аксиматических теориях множеств – например в системах Цермело и Цермело-Френкеля – есть так называемая «аксиома выделения», которая разрешает образование нового множества (по некоторому свойству) только если элементы этого множества берутся из уже существующего множества, т.е. из рода.

61                   

* * *

За несколько лет до Рассела, в 1899 г., Кантор тоже нашел в созданной им теории парадокс, причем этот парадокс вновь связан с понятием «множество всех множеств». Согласно одной из доказанных Кантором теорем, мощность множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. Однако в случае с множеством всех множеств эта теорема не выполняется: это множество содержит все свои подмножества в качестве элементов и значит не менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Кантор оставил этот парадокс без решения, и если не ошибаюсь, нерешенным он остается и по сей день. Точнее, его решают тем же способом, что и парадокс Рассела: вводя различные ограничения на способы образования новых множеств, так чтобы образование множества всех множеств стало невозможным. Но так ли уж опасно множество всех множеств? Так ли уж необходимы усилия, изгоняющие его из теории множеств словно дьявола?

62                   

Решая парадокс Рассела, мы обнаружили, что множеству всех множеств все же можно дать определение, причем оба возможных определения на первый взгляд не противоречивы: явное – множество элементов, которые суть множества; неявное – множество, которое содержит любое другое множество. Во всяком случае из этих определений нельзя сделать вывод, будто множество всех множеств содержит себя в качестве элемента, а без этого вывода парадокс Рассела не проходит. В то же время так определенное множество всех множеств по сути совпадает с тем неопределенным понятием множества всех множеств, которое использует Кантор в своем парадоксе. Ведь этот парадокс не использует самосодержимость множества всех множеств, а лишь что оно содержит все свои подмножества в качестве элементов. Но тогда вопрос: неужели парадокс Кантора – это и есть доказательство противоречивости обнаруженных нами определений?

63                   

Я утверждаю, что нет, ибо мы вовсе не обязаны признавать множествами подмножества множества всех множеств. Такое признание напрямую из принятых определений не вытекает, да и вряд ли может быть доказано косвенно. Верно, что эти подмножества суть подмножества множества всех множеств, но неверно, что тем самым они суть множества. Более того, признание этих подмножеств множествами (а значит и элементами множества всех множеств) будет очередным нарушением принципа категориальной определенности, поскольку тогда они тут же окажутся и подмножествами и элементами одного и того же множества. Поэтому у меня нет ни малейшего сомнения в том, что соответствующая теорема недоказуема. Но если эти подмножества не множества, то что же они такое?

64                   

Принятые нами определения так устроены, что множество всех множеств оказывается единственным из множеств, которое в нем не содержится. Оно, следовательно, резко отличается от всех остальных множеств и поэтому разумно назвать его метамножеством. Метамножество содержит все остальные множества, но не содержит себя. Этим оно напоминает число 0, которое делится на все остальные числа, но не делится на себя. Следовательно, список объектов, с которыми имеет дело теория множеств, может быть расширен: элементы, множества, метамножество.

65                   

Далее. Раз метамножество столь исключительно, ничто не мешает нам причислить к метамножествам не только его самого, но и его подмножества. Понятые как метамножества, подмножества множества всех множеств уже не содержатся в нем в качестве его элементов, что с одной стороны решает парадокс Кантора, с другой – вводит нас в «мир метамножеств», возвышающийся над «миром множеств» как над своим основанием (подобно тому как куб возвышается над своей гранью). В мире метамножеств тоже существует свое собственное множество всех множеств – метаметамножество – и так далее до бесконечности. Впрочем, все эти мета-, метамета- и метаметаметамиры едины в том, что к ним применима одна и та же теория множеств: ведь множества первого мира суть элементы второго, множества второго (метамножества) суть элементы третьего и т.д. Это напоминает суждение о форме, которое одно, но применимо не только к суждениям как таковым, но и к метасуждениям, метаметасуждениям и т.д. И тут нечему удивляться: в конечном счете теория множеств тоже есть суждение о форме. Правда на этот раз не о форме суждений, а о форме множеств (я имею в виду отношения множеств к своим элементам и другим множествам).

66                   

Таким образом, я не вижу необходимости изгонять множество всех множеств из теории множеств. Да и вряд ли такое изгнание возможно. Оно противоречит теоретико-множественной установке, выступая по отношению к ней как прямое насилие. И не случайно множество всех множеств все равно незримо присутствует в аксиоматических теориях множеств, пусть даже нигде в самих аксиомах не упоминается. Множество всех множеств следует не изгонять, а укротить, причем все, что для этого нужно, – дать ему правильное определение.

67                   

* * *

Рассел придумал также еще один парадокс, как бы с целью шутливой иллюстрации к парадоксальному множеству всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Возьмем брадобрея, который бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается, как ему поступить по отношению к себе – брить себя или не брить? Если брить, то он будет одним из тех, кто бреется сам, и значит по условию – брить себя не должен. Если не брить, то он будет одним из тех, кто не бреется сам, и значит по условию – брить себя должен. В итоге оказывается, что простейшее и с виду невиннейшее понятие «брадобрей, который бреет и т.д.» влечет неразрешимое противоречие.

68                   

Если читатель уже согласился с тем, что принцип категориальной определенности применим к парадоксам лжеца и Рассела, то у него может возникнуть сильное искушение сказать, что и на этот раз причина парадокса – самообращение категорий. Но только где они, эти категории? Бреющий и бреемый? Или шире – действующий и страдающий (испытывающий действие)? Так ведь вроде к ним-то принцип определенности как раз и не применим: всякий человек, который бреется сам, есть наглядый пример бреющего и бреемого! В то же время отчего ж действующий и страдающий, т.е. субъект и объект действия, не категории? Причина и следствие – категории, а субъект и объект – нет? Не будет ли произволом утверждение, что понятия «субъект» и «объект» к категориям не относятся?

69                   

Но если они категории, то неужели всякий человек, который бреется сам, есть ходячее опровержение принципа категориальной определенности?! Вот так, запросто, без всяких головокружительных множеств всех множеств взять и опровергнуть принцип?! Вот уж парадокс так парадокс: на вид безделушка, а ставит под угрозу чуть ли не сам закон непротиворечия! И как быть?

70                   

Поскольку я не вижу ошибки в доказательстве принципа категориальной определенности, а также не могу позволить себе произвол в отношении понятий «субъект» и «объект», иного выхода у меня не остается – понять, что человек, который бреется сам, вовсе не бреет себя. Но ведь так оно и есть: он бреет свою бороду! Он бреет часть себя, но не себя как целое! Следовательно, за кажущимся нарушением принципа стоит уже знакомое нам раздвоение предмета: бреющийся человек есть субъект как целое, объект – как часть. Целое бреет свою часть – вот что означает бриться, и значит никакого нарушения принципа нет и в помине.

71                   

Принцип спасен, но как быть с парадоксом? Ведь и Рассел нигде не использует самообращение категорий. Разве изменится что-нибудь, если мы определим «чудобрадобрея» чуть иначе: брадобрей, который бреет тех и только тех, кто не бреет свою бороду? В этом определении нет и намека на самообращение категорий, но парадокс остается парадоксом. Так может и не в самообращении вовсе дело? Так может дело в чем-либо ином? Но только как понять тогда удивительную похожесть чудобрадобрея на парадоксальное множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента?

72                   

Но так ли уж в определении чудобрадобрея нет и намека на самообращение? Перепишем его чуть короче: брадобрей, бреющий небреющихся (в смысле «самонебреющихся»). В этом определении на месте объекта стоит небреющийся, т.е. человек, который определяется через понятие «бриться». Но ведь бриться означает: человек как субъект бреет свою бороду. Следовательно, определение одного субъекта – чудобрадобрея – использует определение другого субъекта, причем в обоих определениях речь идет об одной и той же деятельности – брении. Поэтому если допустить, что среди небреющихся есть также сам чудобрадобрей, он тут же окажется и на месте субъекта, и на месте объекта, причем – и это главное – там и там как целое. Определение чудобрадобрея допускает, что целое бреет себя как целое, а это прямое нарушение принципа категориальной определенности.

73                   

Следовательно, и на этот раз причина парадокса – самообращение категорий, но только теперь оно ловко спрятано. Если в определении несобственного множества самообращение категорий бросается в глаза – множество, которое содержит себя в качестве элемента, – то в определении чудобрадобрея самообращение категорий заслоняется множественностью других небреющихся, по отношению к которым никакого самообращения нет, – брадобрей, бреющий небреющихся. Все прочие небреющиеся как бы образуют вокруг чудобрадобрея плотный заслон, так что он сквозь него невидим. Возникает видимость, будто все небреющиеся могут стать клиентами чудобрадобрея – в том числе он сам, если он тоже небреющийся. Но это-то и не так, ибо как раз в этом случае в определении чудобрадобрея произойдет скрытое самообращение категорий.

74                   

Заменим «небреющихся» на «немоющихся»: брадобрей, бреющий немоющихся. Парадокс тут же исчезнет, ибо хотя и в этом случае чудобрадобрей, если он немоющийся, окажется на месте объекта и субъекта одновременно, он будет субъектом иной деятельности. Произойдет категориальный сдвиг: один и тот же предмет будет мыслиться и как объект и как субъект, но в разных отношениях (в разных видах деятельности).

75                   

Итак, определение чудобрадобрея все же нарушает принцип категориальной определенности, если допустить, что среди небреющихся есть и он сам. Поэтому решение парадокса – в запрете этого допущения: брадобрей, который бреет тех и только тех, кто не бреется сам за исключением его самого. Впрочем, само это решение давно известно и дело не в нем, а в понимании того, почему неисключение чудобрадобрея делает его определение противоречивым. Замечу также, что как и в случае с лжесуждением, исключению подлежит не только чудобрадобрей, но и его антипод: брадобрей, который бреет тех и только тех, кто бреется сам. Правда теперь уже не по причине противоречия, а по причине тавтологии. Ибо если антипод станет клиентом самого себя, его определение выродится в тавтологию: брадобрей, который бреет себя, так как бреет себя.

76                   

* * *

Подведем итоги. Мы имеем четыре парадокса из разных областей – логики, теории множеств, повседневной жизни, – и все они решаются одним и тем же способом – через обнаружение нарушения принципа категориальной определенности. Мы имеем также целый ряд парадоксальных философских понятий, которые нарушают тот же самый принцип. Это доказывает работоспособность принципа категориальной определенности и правомерность его притязаний на истинность.

77