Апории Зенона

(Из книги: Приглашение в философию. Античность. СПб., 2001)

Вячеслав Вольнов

Зенон Элейский

(V в. до н.э.)

Зенон из Элеи – ученик Парменида. Мы знаем только о его смерти, и эта смерть была геройской. Зенон вернулся в Элею и нашел город под властью тирана. Он составил заговор, но потрепел неудачу и был схвачен. Не желая выдавать соучастников, Зенон откусил язык и плюнул им в лицо тирана.

1                      

Аристотель называет Зенона изобретателем диалектики. Здесь диалектика – искусство спора, умение опровергать и ставить противника в затруднительное положение. Своим искусством Зенон опровергал тех, кто смеялся над учением Парменида. Он придумал знаменитые апории (букв. «затруднения»), в которых доказывал неделимость и неподвижность бытия.

2                      

Апории

Вот апория «против делимости». Пусть бытие делимо до бесконечности. В ходе деления мы либо придем к тому, что далее неделимо, либо не придем ни к чему. Если не придем ни к чему, то бытие окажется состоящим из ничего (т.е. из небытия), что нелепо. Если же придем к тому, что далее неделимо, то бытие окажется состоящим из бесконечного числа частиц, которые либо имеют величину, либо не имеют. Если не имеют, то у бытия тоже не будет величины, что нелепо. Если имеют, то величина бытия будет бесконечной, что опять же нелепо. Следовательно, бытие неделимо.

3                      

Самые известные из апорий Зенона – «против движения». Апория «Дихотомия» (букв. «деление пополам») гласит, что движение никогда не начнется. Ибо чтобы пройти весь путь, нужно пройти его половину; чтобы пройти половину пути, нужно пройти половину половины, и так далее до бесконечности. Апория «Ахилл и черепаха» гласит, что Ахилл никогда не догонит черепаху. Ибо когда он достигнет того места, где была черепаха вначале, она хоть немного, но отползет; когда он достигнет того места, куда она отползла, она опять немного отползет, и так далее до бесконечности. Наконец, апория «Стрела» гласит, что летящая стрела на самом деле покоится. Ибо в каждый момент времени она находится в определенном месте пространства, и раз находится в этом месте, значит в нем покоится. Следовательно, она покоится вообще, так как покоится в каждый момент времени.[1]

4                      

Первые две апории (из тех, что против движения) основаны на допущении, что пространство делимо до бесконечности, – иначе сказать «до бесконечности» нельзя, а без этих слов затруднение (парадокс) не возникает. Третья апория основана на противоположном допущении, что пространство неделимо до бесконечности, что оно состоит из неделимых «мест». Ведь только в этом случае из утверждения «стрела находится в определенном месте» следует вывод «стрела покоится в этом месте». Если «место» делимо, то находиться в нем не означает покоиться, как например в случае, когда я нахожусь в комнате, но по ней передвигаюсь. И так как пространство либо делимо, либо неделимо до бесконечности (как говорят логики – tertium non datur, «третьего не дано»), то выходит, что в любом случае движение невозможно.

5                      

У Пушкина есть стихотворение:

6                      

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

7                      

И Пушкин прав: наглядная очевидность движения не опровергает апорий Зенона, если под опровержением понимать не просто указание противоречащего теории факта, а обнаружение допущенной в теории ошибки. Ведь Зенон вовсе и не думал утверждать, что движения нет в чувственно воспринимаемом мире. Смысл его апорий в том, что движения нет в мире умопостигаемом, т.е. в том самом мире, о котором учил Парменид. Своими апориями Зенон хотел сказать только одно: движение не может быть постигнуто умом, оно противоречит разуму.

8                      

* * *

Уж на что парадоксальны рассуждения Парменида, но и они уступают апориям Зенона. Ученик перещеголял самого учителя, придумал парадоксы, которыми заморочил голову многим поколениям ученых и неученых мужей. И что интересно – до сих пор среди философов нет единства и каждый по-своему решает (если вообще решает), в чем Зенон ошибся. Апории Зенона – блестящий пример того, как бывает легко проблему поставить и как трудно ее решить. Его рассуждения доступны и ставят в тупик даже школьника, но даже величайшие философы всех времен и народов бились над ними, бились, но так ничего и не добились. За ними скрывается серьезнейшая философская проблема – одна из тех, что принято относить к вечным и что, как полагают некоторые, никогда не будут решены. И как знать – быть может эти некоторые правы.

9                      

* Нижеследующие рассуждения предназначены для особо пытливых и любознательных. В них я поделюсь с читателем тем решением проблемы, которого придерживаюсь сам, которое для меня головоломки Зенона решает. Это решение частично заимствовано, в остальном додумано мною самим.

10                   

Разрешить парадокс – значит устранить содержащееся в нем противоречие. На вид апории Зенона – типичный случай логического противоречия: об одном и том же объекте (движении) в одно и то же время в одном и том же отношении и утверждается, что движение есть (так говорят чувства), и отрицается, что движение есть (так говорит разум). В уме как бы сталкиваются два несовместимых суждения – А и не-А, а такое столкновение запрещено законом логики под названием «закон противоречия» (лучше – «закон непротиворечия»).

11                   

Однако на самом деле логического противоречия в апориях нет. Ибо противоречащие суждения относятся к разным объектам: одно – к движению чувственно воспринимаемому, другое – к движению умопостигаемому, одно – к движению как таковому, другое – к его теоретической модели. Эту модель Зенон незаметно строит в своих апориях, но мы этого не замечаем и по неосторожности отождествляем модель с действительностью, принимаем ее за оригинал. Следовательно, первый шаг к разрешению парадоксов в том, чтобы понять, что мы имеем дело не с одним, а с двумя движениями – реальным и теоретическим, оригиналом и его моделью. Но суждения, относящиеся к разным объектам, не могут вступать в логическое противоречие.

12                   

Однако этим проблема не решается. Просто за логическим противоречием обнаруживается гносеологическое, противоречие познания. Суть последнего в том, что построенная Зеноном теоретическая модель расходится с оригиналом, дает вывод, который противоречит опыту. И казалось бы, если объявить эту модель ошибочной, то проблема будет решена. Но в чем она ошибочна? Почему, пока мы Зенона слушаем, она кажется нам приемлемой, и лишь когда Зенон делает заключительный вывод, мы склонны признать ее негодной? Без ответа на эти вопросы проблема не может считаться решенной.

13                   

Возьмем Ахилла с черепахой. Теоретическая модель, которую строит Зенон в апории, выглядит так. Рассмотрим два ряда точек {a_i} и {b_i}. Первый ряд проходит в своем движении Ахилл, второй – черепаха. Эти ряды связаны соотношением a(i+1)=b(i), которое выражает тот факт, что в каждый следующий момент времени Ахилл оказывается там, где была черепаха в предыдущий момент времени (см. рисунок). Ряды задаются формулой c(i+1)=lc(i), где c_i – длина i-го отрезка между соседними точками, а l – отношение скорости черепахи (v_b) к скорости Ахилла (v_a). Эта формула получается так: время, за которое Ахилл проходит i-ый отрезок между соседними точками, равно c(i)/v_a; но за это же время черепаха проходит отрезок длиной c(i+1), и значит c(i+1) =v_bc(i)/v_a=lc(i).

14                   

15                   

Можно с математической строгостью доказать, что если скорости Ахилла и черепахи постоянны и первая больше второй, то ряды {a_i} и {b_i} сходятся, причем к одному и тому же пределу (поскольку это фактически один ряд точек, только по-разному пронумерованный). Осталось выяснить, прав ли Зенон доказывая, что в построенной им модели Ахилл не догонит черепаху?

16                   

Но что означает «догнать», если речь идет не о реальном, а о теоретическом движении? Что означает «Ахилл догонит черепаху», если мы имеем дело не с оригиналом, а с моделью? Доказательство теоремы только тогда осмысленно, когда мы располагаем четкими определениями понятий, которые используются в ее формулировке. И если Зенон собирается доказать, что Ахилл не догонит черепаху, то он должен сперва дать четкое определение того, что означает «догнать». Подобно тому как доказывая теорему о сумме углов треугольника, математик должен дать четкое определение того, что такое «треугольник». Дает ли Зенон требуемое определение?

17                   

Что интересно – дает. Точнее – неявно пользуется тем определением, к которому мы привыкли и которое кажется нам очевидным: «догнать» означает, что существует момент времени, когда оба – догоняющий и догоняемый – оказываются в одном и том же месте. И разве это не определение? И разве не этим определением пользуемся мы в повседневной жизни?

18                   

Зенону никогда не удалось бы заморочить нам голову, если бы мы сами не помогали ему в этом. Если бы мы сами не придерживались определения, которое в высшей степени правдоподобно, но которое как раз и обрекает нас на парадокс. Ибо стоит только согласиться с тем, что «догнать» означает «существует i, при котором a(i)=b(i)» (а именно так переводится на теоретический язык привычное нам определение), как неминуемо следует вывод о том, что Ахилл черепаху не догонит. Ибо существование такого i будет означать, что выполняется равенство a(i)=a(i+1), но такое равенство невозможно. Точнее возможно, но лишь в предположении, что черепаха в какой-то момент остановилась.

19                   

И значит Зенон прав доказывая, что в построенной им модели Ахилл черепаху не догонит. Его доказательство логически безупречно и никакой ошибки не содержит. Оно выдержано по всем правилам формальной логики и удовлетворяет всем требованиям к правильному умозаключению. Вывод «Ахилл не догонит черепаху» следует из принятого определения с «железной» необходимостью. И что делать? И как быть, если мы все же не хотим мириться с тем, что наша модель разошлась с оригиналом, дает вывод, который противоречит опыту?

20                   

И здесь возможны два пути: либо мы перестраиваем модель, либо ищем другое определение. Первый путь оставим в покое, так как второй куда интереснее. Каким должно быть новое определение, чтобы модель сошлась с оригиналом? Пожалуйста: «догнать» означает, что предел ряда {a_i} равен пределу ряда {b_i}, или: lim(a_i)=lim(b_i) (при i®+¥). И тогда с той же логической неумолимостью, с которой Зенон доказал, что Ахилл черепаху не догонит, будет следовать вывод о том, что Ахилл черепаху догонит. И тогда будет устранено не только логическое, но и гносеологическое противоречие, которое возникает тогда, когда теория расходится с опытом. Проблема вроде бы решается, но лишь путем выбора подходящего определения.

21                   

И это наводит на размышления. Не является ли наше решение «подгонкой» определения под ответ? Мы желаем, чтобы модель сошлась с оригиналом, и следуя желанию находим подходящее определение. Причем такое, которое не очевидно, которое требует сложного математического понятия «предел» и из повседневной жизни невыводимо. И тогда можем ли мы считать, что не только разрешили парадокс, но и нашли решение скрывающейся за ним проблемы? Ведь проблема парадоксом не исчерпывается. Ведь одно дело – устранить содержащееся в парадоксе противоречие, другое – решить стоящую за ним проблему. И если с первым мы кое-как справились, то ко второму только подступились. Точнее, за решенной проблемой открываются нерешенные: имеем ли мы право вводить определения, которые напрямую из опыта невыводимы? не будет ли такое введение произволом, подгонкой под ответ? сможет ли теория, использующая такие определения, претендовать на истинность? Вот так: вместо одной проблемы – целых три (и даже больше), и как решать их, сразу не видно.

22                   

И тем не менее апории Зенона весьма поучительны: «мораль той басни такова», что при построении теоретической модели следует крайне внимательно относиться к определениям, и не всегда определение привычное и очевидное есть определение правильное; напротив, правильным может оказаться как раз непривычное и неочевидное определение. Как говорится, сказка ложь, да в ней намек – добрым молодцам урок…

23                   

Парадокс «Дихотомия» разрешается ровно таким же образом, особенно если переформулировать его так: движение никогда не закончится (ибо чтобы пройти весь путь, нужно пройти его половину; чтобы пройти оставшуюся половину, нужно пройти половину оставшейся половины, и так далее до бесконечности). Здесь привычное определение «закончиться» – «существует i, при котором a(i)=b (где b – конец пути)», правильное – lim(a_i)=b (при i®+¥). И вновь правильное определение требует сложного понятия «предел» и напрямую из опыта невыводимо.

24                   

Апория «Стрела» несколько отличается от предыдущих. Ее особенность в том, что построенная в ней теоретическая модель один к одному совпадает с той моделью, которую использует ньютоновская механика, стало быть наука. Поэтому, если в предыдущих случаях мы еще могли отмахнуться от модели и пойти по пути ее перестройки, то теперь этот путь наглухо закрыт. Ведь не станем же мы утверждать, что все грандиозное здание ньютоновской механики покоится на неправильной теоретической модели?

25                   

Модель движения в механике выглядит предельно просто: движение – это кривая p(t), где t – момент времени, p(t) – место в пространстве. Гениальность Зенона в том, что он берет эту тривиальнейшую модель и превращает ее в головоломку. Причем в такую, что до сих пор некоторые философы искренне вслед за Гегелем считают, что разрешить парадокс можно лишь признав, что в одно и то же время стрела и находится, и не находится в определенном месте. Стало быть лишь ценой явного формально-логического противоречия. Ай да Зенон! Заставить философа пойти на открытый разрыв с разумом, прямо и не стесняясь нарушить закон логики – это восхитительно! это то, чем просто нельзя не восхищаться!

26                   

Теперь – внимание. Вначале Зенон говорит, что в каждый момент времени стрела находится в определенном месте пространства. И здесь все чисто: разве может стрела нигде не находиться? Затем Зенон делает промежуточный вывод: раз находится в этом месте, значит в нем покоится. И здесь снова почти все чисто, если взять это умозаключение само по себе и принять допущение о неделимости мест пространства. Однако далее следует хитрость: из покоя стрелы в данном месте пространства делается вывод о том, что она покоится в данный момент времени. И так как данный момент – произвольный, то – в каждый момент времени (стало быть покоится вообще). Однако первый шаг этого заключительного вывода ошибочен: из покоя в данном месте невыводим покой в данный момент – по той простой причине, что выражение «покой в данный момент» вообще бессмысленно. Оно не только никак Зеноном не определяется, но и в принципе не может быть определено.

27                   

Иными словами, мы снова упираемся в определения. Прежде чем делать вывод «стрела покоится в данный момент времени», Зенон должен был дать четкое определение того, что означает «покоиться». Такое определение дать нетрудно, но лишь применительно к покою в данном месте: «покоиться в месте P» означает, что для любых двух близких моментов времени t₁ и t₂ p(t₁)=p(t₂)=P. Это определение и привычно, и правильно, и выводимо из опыта, и подходит для теоретической модели. Однако, как бы мы ни пытались определить выражение «покоиться в момент t», ничего все равно не получится: понятия «движение» и «покой» лишаются всякого смысла, когда речь заходит об одном-единственном моменте времени. Перефразируя Гегеля, можно было бы сказать, что в одно и то же время стрела и движется, и не движется (покоится), но никакого логического противоречия в этом утверждении не будет, потому что входящие в него суждения одинаково бессмысленны.

28                   

Но что позволило Зенону обвести нас вокруг пальца и придать бессмыслице видимость осмысленности? Двусмысленность словосочетания «момент времени». В рамках построенной Зеноном модели момент времени – это неделимая точка на оси времени, и именно по причине ее неделимости выражение «покоиться в данный момент времени» бессмысленно. Однако в обыденном словоупотреблении момент времени – это скорее отрезок на оси времени, как например в случае, когда мы говорим «в данный момент времени хозяина нет дома». Так понимаемый момент времени делим на более мелкие моменты, и значит по отношению к нему выражение «покоиться в данный момент времени» осмысленно. Но так как в обоих случаях используется одно и то же словосочетание, возникает видимость, будто выражение «покоиться в данный момент времени» осмысленно как для делимого, так и для неделимого момента времени. Стало быть хитрость Зенона в том, что ему удалось перенести осмысленность выражения «покоиться в данный момент времени», где речь идет о временном отрезке, на выражение «покоиться в данный момент времени», где речь идет о временной точке. Как говорится, ловкость рук и никакого мошенничества…

29                   

Последняя апория – «против делимости». Здесь снова строится теоретическая модель, которая применяется в науке, и вновь используется выражение, которое никак не определяется и потому остается бессмысленным. Бытие моделируется в виде геометрического отрезка, причем молчаливо подразумевается, что длина отрезка есть сумма длин его частей. Но что означает выражение «сумма длин частей», если части – точки отрезка? Ведь точек в отрезке бесконечно много, а выражение «сумма длин бесконечного количества точек» определить чрезвычайно трудно. Нельзя сказать, что оно вовсе не может быть определено, однако понадобилось две тысячи лет, прежде чем математики наконец-то придумали подходящее определение. На языке математики это определение выглядит так: òdx. Надо ли говорить, что такое определение и непривычно, и неочевидно, правильно, но из опыта невыводимо. Оно требует еще более сложного понятия «интеграл», но тем не менее подходит для того, чтобы модель сошлась с оригиналом, чтобы теория давала тот же вывод, что и опыт. И это доказывает, что мы имеем право вводить определения, которые напрямую из опыта невыводимы. Введение таких определений не обязательно подгонка под ответ, и использующие их теории могут претендовать на истинность.

30